「LeetCode」278. 第一个错误的版本——二分查找

详述二分查找

先看看Knuth(KMP算法发明者)怎么说:

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky...

总之就是二分查找的细节处理往往决定了程序是否能够正确运行。

比如,比较大小有没有等于号,mid该不该加1,往往这些问题就在查找的边界出现……

二分查找基本框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;
    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;//防止溢出
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

其中…标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

寻找一个数

这个场景是最简单的,可能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意(1)

    while(left <= right) { // 注意(2)
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意(3)
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意(4)
        }
    return -1;
}

(1)数组索引最大是length-1;

(2)这里的while循环条件中为<=,如果为<相当于查找区间为[left,right),而无法找到最右边的值;如果为=,那么查找区间就是[left,right],这一点可以用在1,2,3中查找3的例子模拟验证一下。

(3)、(4)如果mid不满足条件,那么边界应该移动到mid的下一个数

再来探讨一下停止搜索的条件

  1. 什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:

    if(nums[mid] == target)
           return mid; 
  2. 但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。

    在while(left <= right)的约束下下,终止条件是 left == right + 1。

    在while(left < right)的约束下下,终止条件是 left == right。

    那么说明在不加等号的时候right所指的元素是无法参与比较的,那么就刚好漏掉了一个。

    当然,如果你非要用 while(left < right) 也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:

    //...
    while(left < right) {
       // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

    只需要在最后比较一下漏掉的元素即可。

寻找左侧边界的二分搜索

直接看代码,其中的标记是需要注意的细节:

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意(1)

    while (left < right) { // 注意(2)
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意(3)
        }
    }
    // target 比所有数都大
    if (left == nums.length) return -1;
    // 类似之前算法的处理方式
    return nums[left] == target ? left : -1;
    //返回left或者right都一样,因为right=left为终止条件
}

先了解一下返回值的含义:

例:target=2;nums=[1,2,2,4,5]。对于这个数组,算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读:nums 中小于 2 的元素有 1 个。

对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1,算法会返回 0,含义是:nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8,算法会返回 4,含义是:nums 中小于 8 的元素有 4 个,但是数组中没有这个数应该返回-1。

综上可以看出,函数的返回值(即 left 变量的值)取值区间是闭区间 [0, nums.length],所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

(1)这里的初始化条件一定要满足left的取值区间 [0, nums.length],并且当left=nums.length时返回-1,否则很可能会漏掉-1的情况。

(2) 这里的终止条件是left = right,相当于在搜索区间中,左边是闭区间,右边是开区间。

(3)while条件决定了搜索区间,那么这里要满足左闭右开,并且不漏掉元素的话就需要让right=mid。

该算法能找到左边界的主要原因还是对 nums[mid] == target 这种情况的处理:

if (nums[mid] == target)
    right = mid;

可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小「搜索区间」的上界 right,在区间 [left, mid) 中继续搜索,即不断向左收缩,达到锁定左侧边界的目的。

寻找右侧边界的二分查找

寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多,只有两处不同,已标注:

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意(1)
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意(2)

1. 为什么这个算法能够找到右侧边界?

答:类似地,关键点还是这里:

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

当 nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界 left,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的。

2. 为什么最后返回 left – 1 而不像左侧边界的函数,返回 left?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回 right 才对。

答:首先,while 循环的终止条件是 left == right,所以 left 和 right 是一样的,你非要体现右侧的特点,返回 right – 1 好了。

至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left – 1]可能是target。

3. 为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?

答:类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是 left == right,就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length],所以可以添加两行代码,正确地返回 -1:

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

概括总结

第一个,最基本的二分查找算法:

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个,寻找左侧边界的二分查找:

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个,寻找右侧边界的二分查找:

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一

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