详述二分查找
先看看Knuth（KMP算法发明者）怎么说：
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| Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky...
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总之就是二分查找的细节处理往往决定了程序是否能够正确运行。
比如，比较大小有没有等于号，mid该不该加1，往往这些问题就在查找的边界出现……
二分查找基本框架
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| int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
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其中…标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
寻找一个数
这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
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| int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
}
return -1;
}
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（1）数组索引最大是length-1；
（2）这里的while循环条件中为<=,如果为<相当于查找区间为[left,right)，而无法找到最右边的值；如果为=，那么查找区间就是[left,right]，这一点可以用在1，2，3中查找3的例子模拟验证一下。
（3）、（4）如果mid不满足条件，那么边界应该移动到mid的下一个数
再来探讨一下停止搜索的条件：
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
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| if(nums[mid] == target)
return mid;
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但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。
在while(left <= right)的约束下下，终止条件是 left == right + 1。
在while(left < right)的约束下下，终止条件是 left == right。
那么说明在不加等号的时候right所指的元素是无法参与比较的，那么就刚好漏掉了一个。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
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while(left < right) {
}
return nums[left] == target ? left : -1;
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只需要在最后比较一下漏掉的元素即可。
寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：
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| int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
if (left == nums.length) return -1;
return nums[left] == target ? left : -1;
}
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先了解一下返回值的含义：
例：target=2；nums=[1,2,2,4,5]。对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个，但是数组中没有这个数应该返回-1。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
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| while (left < right) {
}
if (left == nums.length) return -1;
return nums[left] == target ? left : -1;
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（1）这里的初始化条件一定要满足left的取值区间 [0, nums.length]，并且当left=nums.length时返回-1，否则很可能会漏掉-1的情况。
（2） 这里的终止条件是left = right，相当于在搜索区间中，左边是闭区间，右边是开区间。
（3）while条件决定了搜索区间，那么这里要满足左闭右开，并且不漏掉元素的话就需要让right=mid。
该算法能找到左边界的主要原因还是对 nums[mid] == target 这种情况的处理：
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| if (nums[mid] == target)
right = mid;
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可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：
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| int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1;
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1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里：
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| if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
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当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
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| if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
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因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left - 1]可能是target。
3. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
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| while (left < right) {
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if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
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概括总结
第一个，最基本的二分查找算法：
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| 因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
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第二个，寻找左侧边界的二分查找：
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| 因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
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第三个，寻找右侧边界的二分查找：
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| 因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
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