概率生成问题

作者：imageslr
链接：https://leetcode-cn.com/problems/implement-rand10-using-rand7/solution/cong-pao-ying-bi-kai-shi-xun-xu-jian-jin-ba-zhe-da/
来源：力扣（LeetCode）

引言

概率生成问题是一种比较常见的面试题，常见题型举例：

• 有一枚不均匀的硬币，要求产生均匀的概率分布
• 有一枚均匀的硬币，要求产生不均匀的概率分布，如 0.25 和 0.75
• 利用 Rand7() 实现 Rand10()

本文将依次讲解这三个问题，然后总结此类问题的通用方法。

不均匀硬币，产生等概率

现有一枚不均匀的硬币 coin()，能够返回 0、1 两个值，其概率分别为 0.6、0.4。要求使用这枚硬币，产生均匀的概率分布。即编写一个函数 coin_new() 使得它返回 0、1 的概率均为 0.5。

// 不均匀硬币，返回 0、1 的概率分别为 0.6、0.4
int coin() {
    return (rand() % 10) > 5;
}

统计抛两次硬币的结果的概率分布：

结果	0	1
0	0.6*0.6=0.36	0.6*0.4=0.24
1	0.4*0.6=0.24	0.4*0.4=0.16

不难发现，连续抛两枚硬币得到 0 1 和 1 0 的概率分布是相同的。因此这道题的解法就是连续抛两次硬币，如果得到 0 1，返回 0；如果得到 1 0，返回 1；如果两次结果相同，则重新抛。

以此类推，无论这枚不均匀硬币的概率是多少，都可以用这种方法得到等概率的结果。

int coin_new() {
    while (true) {
        int a = coin();
        if (coin() != a) return a;
    }
}

完整测试代码：

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;

// 不均匀硬币
int coin() {
    return (rand() % 10) > 4;
}

int coin_new() {
    while (true) {
        int a = coin();
        if (coin() != a) return a;
    }
}

// 测试
int main() {
    int N = 1000000;
    float count[2] = {0, 0};
    for (int i = 0; i < N; i++)
        count[coin_new()] ++;
    
    cout << "0: " << count[0]/N << endl;
    cout << "1: " << count[1]/N << endl;
}

输出：

0: 0.50037
1: 0.49963

均匀硬币，产生不等概率

现有一枚均匀的硬币 coin()，能够返回 0、1 两个值，其概率均为 0.5。要求编写一个函数 coin_new()，使得它返回指定的 0、1 概率分布。

// 均匀硬币
int coin() {
    return rand() % 2;
}

P(0) = 1/4，P(1) = 3/4

对于均匀硬币而言，连续抛两次，得到 0 0、0 1、1 0、1 1 的概率均为 1/4。显然，只需要连续抛两次硬币，如果得到 0 0，返回 0，其他情况返回 1。

int coin_new() {
    return coin() || coin();
}

测试输出：

0: 0.249249
1: 0.750751

P(0) = 1/3，P(1) = 2/3

连续抛两次硬币。如果得到 1 1，返回 0；如果得到 1 0 或 0 1，返回 1；如果得到 0 0，继续抛硬币。

int coin_new() {
    while (true) {
        int a = coin(), b = coin();
        if (a && b) return 0;
        if (a || b) return 1;
    }
}

测试输出：

0: 0.333663
1: 0.666337

P(0) = 0.3，P(1) = 0.7

每抛一次硬币，会得到二进制数的一位
连续抛 4 次硬币，可以等概率生成 [0, 15] 的每个数，记为 xx
去掉 [10, 15]，剩下 [0, 9] 的每个数依然是等概率的
如果 x∈[0,2]，返回 0；x∈[4,9]，返回 1；x≥10，重复上述过程

测试输出：

0: 0.300324
1: 0.699676

总结